Dziś dzień liczby Pi - ile cyfr znasz?

Liczba Pi powszechnie zapisywana za pomocą greckiej litery π od XIX wieku (symbol wprowadził w 1706 roku William Jones), jest stałą matematyczną, której dokładnej wartości nikt nie jest w stanie spamiętać. Dlaczego poruszam ten temat? Dla rozruszania umysłu i dlatego, że dziś mamy dzień liczby Pi. Co prawda to amerykańskie święto, ale nabrało charakteru międzynarodowego. Nie zaszkodzi poznać się bliżej. 

Dlaczego obchodzimy Dzień Liczby Pi?

Można powiedzieć, że skoro 14 marca to rocznica urodzin Alberta Einsteina, dzień liczby Pi obchodzimy niejako przy okazji. Tego dnia w 2018 roku zmarł też Stephen Hawking. 

Lecz liczba Pi zasługuje na względy z innego powodu. Bez niej Wszechświat, a także nowoczesna nauka nie miałyby prawdopodobnie racji bytu. Poza tym Międzynarodowy Dzień Liczby Pi to okazja do oddania honoru matematyce, która jest językiem nauki. A bez nauki nie byłoby tych wszystkich udogodnień, z których na co dzień tak chętnie korzystamy.

Liczba Pi jest obecna w stałych, a zarazem różnych formułach naukowych. Na przykład przenikalność magnetyczna próżni wynosi 4 π * 10^-7. Poprzez nią Pi pojawia się w stałej dielektrycznej czy jako stałej Coulomba. Wartość ta pojawia się też w formułach na promień atomu czy rozmiar elektronu. Jest czynnikiem w stałej kosmologicznej i we wzorze opisującym zasadę nieoznaczoności Heisenberga.

W matematyce Pi jest czynnikiem, który pojawia się jako wynik licznych całek, sum szeregów itp. Jest stosowana w rachunku z użyciem liczb urojonych, trygonometrii, a ta z kolei stosowany jest w elektronice, fizyce falowej, medycynie i astronomii. Liczba Pi jest też symbolem, że wkroczyliśmy w świat wielkiej matematyki. Każdy chyba pamięta emocje, które towarzyszyły poznaniu w szkole wzoru na powierzchnię koła. No, prawie każdy.

Co jest równe liczbie Pi?

Wierzcie lub nie, ale zdarzają się ludzie, którzy nie mają pojęcia czym jest Pi. Słyszeli o tym, podejrzewają, że to pewnie modne określenie, albo imię bohatera jakiegoś filmu. Wstyd, szczególnie, gdy z taką niewiedzą trafi się na studia… Ale już nie jest wstydem nie wiedzieć, że na 100 tysięcznym miejscu po przecinku jest cyfra 1 lub że w pierwszym milionie cyfr nie ma sekwencji 123456.

Wróćmy na chwilę do podstaw i zapamiętajmy sobie raz na zawsze co jest równe liczbie Pi.

Liczba Pi mówi nam ile razy w obwodzie okręgu mieści się długość jego średnicy

Na pewno o tym wiedzieliście, wszak w szkole poznajemy wzór 2 * Pi * r lub Pi * d, który pozwala obliczyć obwód okręgu przy znajomości długości jego promienia (r) lub średnicy (d). Mimo tej banalnie prostej zależności, z której istnienia przed starożytnymi Grekami zdawali sobie sprawę już Babilończycy i Egipcjanie, wartości liczby Pi nie zapamięta nawet komputer kwantowy z gigantyczną pamięcią dyskową. Wiecie dlaczego?

Liczby Pi nie możemy wyrazić jako ułamek zwykły, czyli poprzez dzielenie przez siebie dwóch liczb naturalnych

Ponieważ Pi jest liczbą niewymierną. Czyli taką, której nie można zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych, takiego jak 1/2 czy 5/2. To, że nie istnieje taki ułamek zwykły, czyli liczba wymierna, który dokładnie odpowiada wartości liczby Pi, udowodniono dopiero w XVIII wieku. Pi jest także liczbą przestępną.

Czy liczba Pi jest nieskończona?

A co to znaczy liczba nieskończona? Z punku widzenia matematyki nie jest to zagadnienie tak proste jak rozumiemy je w potocznym tego słowa znaczeniu. Lecz to proste rozumienie nam wystarczy.

Liczba Pi jest liczbą z nieskończonym dziesiętnym rozwinięciem części ułamkowej. Z tej perspektywy jest to liczba nieskończona

Wiemy, że liczba Pi jest większa od 3, ale mniejsza od 3,2, a to nie są liczby nieskończone. Z tej perspektywy Pi nie jest nieskończoną liczbą. Cała zabawa zaczyna się, gdy spróbujemy policzyć lub po prostu wymienić cyfry po przecinku w dziesiętnym rozwinięciu liczby Pi. Wtedy okaże się, że jest ich istotnie nieskończenie wiele. I teraz już rozumiecie, dlaczego nie sposób zapisać numerycznie liczby Pi w żadnej znanej nam pamięci.

π czyli dwa słupki i poprzeczka. To łatwiej zapamiętać niż rozwinięcie dziesiętne

Szkolna wiedza zapewnia nam znajomość liczby Pi z dokładnością do dwóch (3,14), ewentualnie pięciu cyfr po przecinku (3,14159). Konia z rzędem temu, kto na co dzień pamięta, że Pi rozwijamy dziesiętnie w następujący sposób.

π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097…
i tak trzeba w nieskończoność.

Notabene są tacy zapaleńcy, co uczą się liczby Pi na pamięć, a pomocne mogą być tu na przykład tak zwane pi-ematy, czyli wierszyki, w których liczba liter w każdym słowie odpowiada kolejnej cyfrze rozwinięcia Pi.

Pewnie części z Was znany jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego, który de facto był profesorem Szkoły Inżynierskiej (dziś Politechniki) w Poznaniu:

Kuć i orać
w dzień zawzięcie
bo plonów niema bez trudu
Złocisty szczęścia okręcie
Kołyszesz...
Kuć.
My nie czekajmy cudu.
Robota
to potęga ludu.

Ułatwia on zapamiętanie pierwszy 24 cyfr liczby Pi. W przypadku pi-ematu Wisławy Szymborskiej byłoby to trudniejsze, bo już sam utwór jest długi i skomplikowany.

Zagadnienie zapisu dokładnej wartości liczby Pi jest zresztą dużo ciekawsze niż zapisanie dziesiętnie 1/3, która przekłada się na 0,3(33). Same trójki to nic ekscytującego, ale w przypadku Pi obliczanie kolejnych liczb jest/było wyzwaniem. Zresztą pewnie sami korzystaliście z benchmarku (Super Pi), który sprawdzał wydajność komputera poprzez obliczanie kolejnych cyfr dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi.

Jak dokładnie warto znać Pi, by Wszechświat się nie zawalił

Jeśli macie w pamięci troszkę wolnego miejsca, a chcecie mieć pewność, że żadne wykonywane przez was obliczenie nie będzie przyczyną nieszczęścia, warto zapamiętać około 40 cyfr po przecinku. Pozwala to podobno określić obwód obserwowalnego Wszechświata z dokładnością do rozmiaru pojedynczego atomu. Większej precyzji chyba w życiu nie będzie nam potrzeba, co oznacza że wszelkie dzisiejsze wyliczenia to sztuka dla sztuki.

NASA wystarczy nawet kilkanaście cyfr rozwinięcia liczby Pi, by nie zepsuć Międzynarodowej Stacji Kosmicznej i innych pojazdów/sond kosmicznych. A fundamentalne stałe fizyczne i matematyczne, wyliczane przez komitet CODATA, wykorzystują znajomość Pi do 32 cyfr po przecinku.

Ręcznie lub maszynowo - sposoby wyliczania Pi

Można zajrzeć na tę stronę, gdzie znajdziemy rozwinięcie liczby Pi. Jeśli lubicie wyzwania, z którymi związek ma wasz wewnętrzny INTELekt, to możecie podjąć się obliczenia liczby Pi we własnym zakresie.

Najpierw proste przybliżenie czyli iloraz 22/7 (z tego też powodu 22 lipca to dzień przybliżenia liczby Pi, znawcom historii PRL kojarzący się jako data podpisania manifestu PKWN, co raczej kompletnie nie ma nic wspólnego z matematyką :)).

Rozwińcie ten ułamek tak by uzyskać przybliżenie przynajmniej do 6 cyfr po przecinku. I to bez kalkulatora. Wyszło 3,142857(...) czyli nie do końca tyle ile powinno być. Tak, precyzja do dwóch cyfr po przecinku to za mało, ale to i tak bliższe prawdzie niż szkolne 3,14. Dokładniejszy będzie iloraz 355/113, który daje 3,141592(...). To przybliżenie, w którym aż 6 cyfr po przecinku jest prawidłowych, zawdzięczamy chińskiemu matematykowi Zu Chongzhi. Żył on około 1500 lat temu.

Teraz sięgnijcie po takie wyrażenie jak poniżej. Miłej zabawy. To algorytm braci Czudnowski, pochodzących z Kijowa w Ukrainie matematyków. Jest on obecnie wykorzystywany we wszystkich rekordowych obliczeniach liczby Pi.

Sposoby na wyliczenie Pi są także inne, a wszystkie sprowadzają się do użycia formuł (stosujących sumy, szeregi), których wynik jest znany i stanowiący ułamek, potęgę Pi lub pewną funkcję tej stałej matematycznej. Pomysły na obliczenia znajdziecie na przykład na stronie Wolfram.

Zależnie od typu formuły musimy wyliczać po kolei wszystkie cyfr po przecinku, by poznać kolejną, albo ograniczyć się do wyliczenia tylko konkretnej cyfry po przecinku.

Dokładność wyliczenia liczby Pi. Dziś i kiedyś

Największa dotychczas uzyskana precyzja to prawie 62,8 biliona cyfr po przecinku. Uzyskał ją w 2021 roku zespół matematyków ze Szwajcarii po około 108 dniach obliczeń. Wykorzystano w tym celu system z procesorami AMD Epyc 7542 taktowanymi domyślnym zegarem 2,9 GHz oraz 1 TB pamięci RAM.

Dane wyliczone były i zapisane w systemie szesnastkowym, dlatego konieczna była dalsza konwersja do systemu dziesiętnego i weryfikacja przeliczenia. Dane potwierdzono już przez porównanie z poprzednim rekordowym wyliczeniem 50 bilionów cyfr, a także poprzez wyliczenie kilkudziesięciu ostatnich cyfr rozwinięcia. 

Gdyby spróbować zapisać to rekordowe rozwinięcie w kratkowanym zeszycie, wpisując jedną cyfrę w jedną kratkę i zapisując obie strony każdej kartki, to potrzebny byłby nam zeszyt o grubości 3600 km. Tyle kartek potrzeba - około 36 miliardów. Czas potrzebny na ich zapisanie, aż boję się obliczać, choć podobno dziennie na świecie zużywa się jeszcze więcej papieru. Znacznie prościej będzie pobrać obliczoną wartość liczby Pi z serwera pi.fhgr.ch. Zapisana w postaci szesnastkowej zajmuje 48 TB przestrzeni dyskowej.

Jeśli chcecie samodzielnie spróbować obliczeń liczby Pi to proponuję sięgnąć po oprogramowanie y-cruncher, to samo, którym wyliczono wszystkie rekordowe rozwinięcia Pi. Działa ono w systemie Windows oraz Linux. Jego uruchomienie nie da nam korzyści finansowych takich jak kopanie kryptowalut, ale satysfakcja jakaś zawsze tam będzie.

Najnowsza wersja y-crunchera została zoptymalizowana pod kątem układów AMD Ryzen 7 

Weryfikacja wyników obliczeń liczby Pi trwa dużo krócej niż same wyliczenia, lecz pragnienie udowodnienia pomyłki przez osoby weryfikujące różne wyliczenia jest ogromne. Jednym z najsłynniejszych pechowców jest chyba William Shanks, który poświęcił kawał życia, by ręcznie policzyć 707 cyfr rozwinięcia Pi (w 1854 roku potwierdzono poprawność do 500 cyfry) i pomylić się przy 528 cyfrze (dalsze cyfry były w związku z tym błędne), co udowodniono dopiero ponad 70 lat później.

I pomyśleć, że starożytni Babilończycy zadowalali się wartością 3,125. Egipcjanie byli już dużo bardziej dokładni stosując wartość 3,143. Zresztą wiele budowli egipskich, z piramidami na czele, kryje dobrze przybliżoną wartość Pi w różnych relacjach pomiędzy wymiarami tych obiektów. Jeszcze dokładniejszy był Archimedes, stąd nazwa - stała Archimedesa.

Z kolei mówi się, że Biblia jest mniej precyzyjna, gdyż z 1 Księgi Królewskiej (7:23) można wywnioskować, że Pi równe jest 3. To może być jednak wynik zaokrągleń stosowanych przez autora nie świadomego jakie wywoła to zamieszanie w naszych czasach. Wyświetlana w kalkulatorach wartość liczby Pi, która składa się z 9 lub 10 cyfr, znana była już około 1400 roku. Z kolei pierwszy nowożytny wzór pozwalający obliczyć Pi to nieskończony iloczyn Johna Wallisa z 1655 roku. Tego samego, który wprowadził stosowane dziś matematyczne oznaczenie nieskończoności.

W 1949 roku udało się wyliczyć 2000 cyfr dziesiętnego rozwinięcia Pi za pomocą poniższej formuły (która wykorzystuje szereg Taylora dla przybliżenia wartości funkcji arctan), a w 1961 roku z pomocą komputera IBM 7090 i poprawionej formuły poznano 100 tysięcy cyfr. W 1989 roku ponownie komputer IBM 3090 złamał barierę miliarda cyfr rozwinięcia. W 2002 roku policzono ponad bilion cyfr.

Z kolei w 1985 roku próba obliczenia pierwszych 29 milionów cyfr rozwinięcia Pi, pozwoliła wykryć błędy sprzętowe w superkomputerze Cray-2. Odkrycia dokonał David H. Bailey, twórca nowoczesnych algorytmów obliczających Pi. Rekordy obliczania Pi za pomocą superkomputerów notowano do 2009 roku. Potem notowane rekordy uzyskiwane są na zwykłych komputerach - obliczenia trwają dłużej, ale też jest to większe wyzwanie niż puszczenie obliczeń na jednym z liderów zestawienia TOP500.

Kwadratura koła

Z faktem nieskończoności rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, wiąże się tak zwane zagadnienie kwadratury koła. Często stosujemy je gdy chcemy podkreślić nierozwiązywalność danego problemu, ale co to tak naprawdę jest ta kwadratura?

Otóż chodzi tutaj o fakt, że przekształcenie okręgu o danej powierzchni w kwadrat o takiej samej powierzchni nie jest możliwe w skończonej liczbie geometrycznych działań. Czyli takich, które wykorzystują cyrkiel i linijkę bez podziałki. Możemy zbliżać się do rozwiązania, podobnie jak w problemie, w którym każdy następny krok to pokonywanie połowy pozostałej do przebycia drogi. Lecz nigdy nie osiągniemy celu, zawsze trochę pozostanie.

Pi sprawia, że Wszechświat jest prawdziwy

To nieco filozoficzne sformułowanie, które stanowi kontrargument dla tez, że nasz Wszechświat może być komputerową symulacją. Jednakże, skoro w naszym świecie istnieje tak piękna liczba jak Pi, która jest nieskończona i nie ma reguły, która pozwoliłaby ją przechować całą w skończonej ilości pamięci, to nasza rzeczywistość musi być prawdziwa.

Pokrętne to tłumaczenie, ale potrafi poprawić humor. Nawiązuje do niego jeden z odcinków Star Trek TOS, w którym Spock każe złowrogiemu komputerowi podać ostatnią cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi.

Ukryte piękno liczby Pi

Liczba Pi od dawna była inspiracją dla ludzi zajmujących się wiedzą paranaukową czy artystów, ba jej nazwa pojawiła się nawet w nazwie platformy Raspberry Pi. Zwolennicy metafizyki, zapewne ucieszą się, że już wśród pierwszych 100 milionów cyfr rozwinięcia liczby Pi znajdą każdą pięciocyfrową liczbę, a z prawdopodobieństwem prawie 2/3 swoją datę urodzenia w formacie DDMMYYYY. Czasem Pi przywołuje się jako liczbę, która podobno kryje tajemnice Wszechświata w swoim dziesiętnym rozwinięciu. Nic zaskakującego, skoro Pi kryje się w licznych formułach fizycznych.

W codziennym życiu liczba Pi poza występowaniem we wzorach na obwód i powierzchnię koła, przydaje się jako wartość ułatwiająca różne obliczenia. Wystarczy znajomość do dwóch cyfr po przecinku. I tak przybliżona liczba sekund w roku to Pi * 10⁷, a średni stosunek długości doliny rzeki do długości rzeki równy dokładnie Pi.

Pi pojawia się też w rachunku prawdopodobieństwa. Dla przykładu liczba 6/Pi² to prawdopodobieństwo, że dwie losowo wygenerowane liczby nie będą miały wspólnego dzielnika innego niż jeden - czyli są liczbami pierwszymi.

I bardziej głupkowate skojarzenie, które pomoże zapamiętać wzór na objętość walca tudzież powierzchnię koła - Pizza, gdzie „z” to promień pizzy, a „a” jej wysokość.

To tyle na dziś o liczbie Pi. Dla zabawy polecam odwiedzenie tej wyszukiwarki sekwencji cyfr i wyszukanie ciągu cyfr odpowiadającego naszemu numerowi telefonu. Przeszukiwane są pierwsze 2 miliardy cyfr rozwinięcia dziesiętnego. Szanse odnalezienia numeru są spore, a to oznacza, że faktycznie Pi jest liczbą niezwykłą.

Źródło: Inf. własna, foto wejściowe: engin akyurt on Unsplash